Fractals: Hunting the Hidden Dimension

-Elles sont présentes dans les forêts tropicales,

à la pointe de la recherche médicale,

dans les films,

et partout où règne

la communication sans fil.

Ce mystère de la nature a enfin été percé à jour.

Mais c'est bien sûr.

Peut-être n'avez-vous jamais

entendu parler de ces formes étranges, qui sont partout.

Leur nom : les fractales.

-Elles sont omniprésentes en biologie.

Ce sont des schémas que la nature reproduit sans cesse

au fil de l'évolution.

-Les fractales sont dans nos poumons, nos reins,

nos vaisseaux.

Dans les fleurs, les plantes,

les mouvements climatiques,

le rythme cardiaque, la vie cellulaire.

Mais il a fallu

l'intuition d'un mathématicien pour comprendre leur fonctionnement.

J'utilise des dessins.

J'ai toujours procédé comme ça.

-Il a osé remettre en question les croyances ancestrales

sur les différentes formes que peut arborer la nature.

Les oeillères sont tombées,

et on a pu distinguer des formes qui avaient toujours existé,

mais qui étaient jusque-là invisibles.

Rendre l'invisible visible,

trouver un certain ordre dans ce qui ressemble à du désordre,

quels mystères les fractales

peuvent-elles nous aider à résoudre ?

Pour mieux les comprendre,

partons à la recherche de la dimension cachée.

En 1978, au siège du constructeur Boeing à Seattle,

des ingénieurs conçoivent des avions expérimentaux.

-Des engins bizarres avec deux paires d'ailes, deux fuselages,

pourquoi pas ? Il fallait tenter.

-Un jeune informaticien, Loren Carpenter,

les aide à visualiser à quoi ressembleront

ces appareils en vol.

Je les dessinais sur ordinateur,

et je voulais mettre une montagne en arrière-plan,

comme sur les pubs de Boeing.

Mais il n'y avait pas de logiciel pour ça.

Les montagnes sont composées de millions de triangles,

et on avait du mal avec 100.

Les ordinateurs de l'époque n'étaient pas puissants.

Loren Carpenter veut simuler

le survol d'un paysage de montagne.

Or c'est impossible avec les techniques d'animation de l'époque.

Les animateurs doivent dessiner

chaque image à la main,

et il faut des milliers d'images.

-Mais tout change quand L. Carpenter découvre le travail

d'un mathématicien méconnu : Benoît Mandelbrot.

-En 78, je suis tombé sur un ouvrage en librairie :

"Les objets fractals : forme, hasard et dimension"

par benoît Mandelbrot.

Ca parlait de la géométrie fractale dans la nature.

Je l'ai lu de bout en bout deux fois de suite.

Dans ce livre, Mandelbrot

soutient que de nombreuses formes présentes dans la nature peuvent

être décrites comme fractales, un mot désignant

des formes aux contours

irréguliers et fragmentés.

Il affirme qu'on peut créer une fractale

à partir d'une forme aux contours lisses qu'on fractionne.

Loren Carpenter tente l'expérience sur son ordinateur.

-En 3 jours, j'ai réussi à générer des images de montagnes.

La méthode est simple.

On commence par dessiner un paysage composé de triangles.

On divise chaque triangle en 4 triangles plus petits,

et on répète l'opération.

-La répétition à l'infini, qu'on appelle "itération",

est l'une des clés de la géométrie fractale.

Le résultat était impressionnant.

Personne n'avait jamais vu ça.

J'ai ouvert la voie à une nouvelle forme de création graphique.

Les graphistes ont adoré les fractales.

Tout devenait facile, et on en mettait partout.

-Loren Carpenter quitte Boeing pour la société de production

Lucasfilm, où il crée une planète imaginaire

pour "Star Trek 2 : la colère de Khan".

C'est la 1re séquence entièrement en images de synthèse

dans un long métrage.

Si cette prouesse a été possible,

c'est grâce à la découverte de la géométrie fractale.

Son précurseur, Benoît Mandelbrot,

a toujours mis un point d'honneur à sortir des sentiers battus.

-Je vois des choses que les autres ne soupçonnent pas.

Quand je leur mets sous le nez, ils trouvent ça évident.

Les fractales sont présentes

dans les nuages, dans les montagnes,

et même à l'intérieur du corps humain.

-Ce que personne n'avait compris, jusqu'à ce que Mandelbrot le dise,

c'est qu'au premier abord,

on voit des figures complexes qui semblent

à l'opposé des mathématiques.

Mandelbrot a dit : "L'important, ce n'est pas la figure qu'on voit,

mais sa structure."

-En l'occurrence, le processus itératif à l'infini,

et c'est l'une des caractéristiques déterminantes des fractales :

l'autosimilarité.

-Qu'on fasse un zoom avant ou arrière sur l'objet,

la structure est invariante.

-Si on regarde un paysage à cette échelle

ou si on en grossit une petite partie,

l'aspect est le même.

-Dans l'objet fractal, le tout ressemble à la partie,

qui ressemble elle-même à une partie encore plus petite.

Le motif se répète ainsi à l'infini.

Les arbres sont d'excellents exemples d'autosimilarité.

-Si on observe chaque embranchement,

on voit que leur schéma est identique

pour tout l'arbre.

De la base de l'arbre à sa partie haute,

on a des branches mères qui se divisent

en branches plus petites.

Si on regarde les ramifications un peu plus haut,

on voit que le schéma est le même.

Et il se répète sur l'ensemble des branches

jusqu'aux feuilles situées aux extrémités.

L'autosimilarité est partout.

Du chou romanesco...

à la surface de la lune,

en passant par nos vaisseaux sanguins.

Fasciné par ces formes irrégulières,

Benoît Mandelbrot fait voler en éclat

des siècles de tradition mathématique.

-L'ensemble des scientifiques et des mathématiciens

ne juraient

que par les formes lisses.

J'ai intégré la rugosité dans le champ de recherche.

-Les mathématiques ont servi à bâtir les pyramides,

le Parthénon,

à étudier les mouvements des planètes.

On s'était habitués à ce que certains motifs

se prêtent bien aux formules mathématiques,

notamment en architecture dans les structures bâties par l'homme,

avec des lignes droites, des cercles,

des formes parfaites.

Les mathématiques partent du principe

que tout est extrêmement régulier

et peut se réduire à des lignes droites.

-A des cercles, des triangles. -Des surfaces planes.

-Des pyramides, des tétraèdres, des dodécaèdres.

Des contours lisses.

-Les mathématiques classiques ne s'appliquent

qu'au monde que l'homme a bâti en s'appuyant sur cette science.

Tandis que les motifs de la nature,

ceux qui existaient avant notre arrivée sur terre :

les arbres, les plantes, les nuages, les phénomènes météo,

tout ça échappait à leurs lois.

-Jusqu'aux années 1970, quand Benoît Mandelbrot

présente sa nouvelle géométrie.

Il est arrivé en disant :

"Il vous suffit de regarder ces motifs autrement

"pour y appliquer des lois mathématiques.

"Il y a un ordre derrière le désordre apparent.

"On peut trouver des formules pour décrire les nuages,

"les fleurs ou les plantes.

"Mais ce sont des formules particulières

qui correspondent à une géométrie particulière."

La grande question, c'est :

"Pourquoi a-t-il fallu attendre la fin des années 70

"pour que soit publié

un livre intitulé 'La géométrie fractale de la nature' ?"

Pourquoi n'avait-on jamais vu ces fractales ?

En fait, on les avait déjà vues.

Certains étaient conscients des schémas répétitifs de la nature.

-Le grand artiste japonais du XIXe siècle, Hokusai,

en est la preuve.

Si on regarde bien,

on voit l'ombre d'un nuage

sur le mont Fuji.

Le nuage est constitué d'une série de motifs similaires.

-Dans "La Grande Vague de Kanagawa",

la vague se termine par des vaguelettes identiques.

-Quand j'ai écrit que les estampes d'Hokusai étaient fractales,

des gens m'ont dit :

"Ah, maintenant, on comprend Hokusai."

Il peignait des fractales.

-On croit toujours que les mathématiciens

sont très différentes des artistes,

mais l'art est une discipline très proche des maths.

Elle s'appuie juste

sur un langage différent.

Ce qui intéresse Mandelbrot, ce ne sont pas les équations,

c'est l'explication d'un phénomène visuel.

-La fascination de Mandelbrot pour l'aspect visuel des maths

commence au lycée.

Ce n'est qu'en janvier 1944

que j'ai eu le coup de foudre pour les maths.

Pas les maths au sens large, mais la géométrie

dans sa forme la plus concrète, la plus sensuelle.

Celle qui allie les mathématiques et le visuel.

Quand notre prof nous soumettait des problèmes d'algèbre,

moi, dans ma tête, je voyais les figures géométriques

qui correspondaient à ces données, et la solution m'apparaissait.

C'est là que j'ai découvert en moi une faculté insoupçonnée :