A Trip to Infinity

UN DOCUMENTAIRE NETFLIX

Un, deux, trois, quatre, cinq…

La première fois que j'ai pensé à l'infini,

je regardais le ciel, un soir,

quand j'avais environ dix ans.

J'étais très petite. Je n'allais pas encore à l'école.

J'étais assise sous la table,

et je comptais.

À un moment donné,

j'ai compris que je pouvais continuer indéfiniment.

J'étais allongé sur la plage, tard le soir,

à me demander si l'espace s'étendait à l'infini.

Commençons par les prémisses du film.

Nous cherchons l'infini.

Alors, par où commencer ?

Je doute que tout le monde cherche l'infini.

Est-ce que l'infini est un nombre, un endroit,

une idée ou un concept ?

À mon avis, c'est tout à la fois.

CHAPITRE 1

L'INFINI EXISTE

Les nombres n'ont pas de fin. C'est tout le concept de l'infini.

Si je m'imagine compter aussi longtemps que possible,

je mourrais avant d'avoir atteint l'infini.

Ironiquement, tous les nombres qu'on imagine

ne représentent rien du tout.

Peu importe leur grandeur,

ces nombres sont insignifiants par rapport à l'infini.

L'infini ne me fait pas peur. Je le trouve beau, envoûtant et exaltant.

Je l'adore.

Si je pense au fait qu'un jour, je cesserai à tout jamais d'exister,

ça me fait un peu peur, c'est vrai.

Mais j'évite d'y penser.

Le fait même d'être conscient implique de lutter contre l'infini.

Sans vouloir être pompeuse.

Quand on a le cœur brisé, est-ce qu'on souffre éternellement ?

Et si on tombe vraiment amoureux, est-ce que ça durera toujours ?

L'amour est infini,

car quand l'amour nous submerge,

on a toujours l'impression de dépasser nos limites.

Tout à coup, je me suis dit que ces idées abstraites

étaient le fruit de notre esprit.

Qui a inventé l'infini ?

Je pense, dans une certaine mesure,

que ce concept est antérieur à tout ce qu'on connaît.

Un, deux, trois…

L'être humain comptait dans ses tous premiers écrits.

Sept…

Celui qui a inventé l'écriture savait déjà compter.

Et le fait de pouvoir sans cesse ajouter une unité

remonte au moins à cette époque.

On perçoit ce qui est infini de plein de manières,

et ça fait souvent peur.

Il y a le concept du puits sans fond.

Celui du temps qui ne s'arrête jamais.

Si on croit à l'enfer, il y a celui de la torture éternelle,

du cauchemar dont on ne se réveillera pas.

Je comprends donc qu'on trouve souvent l'infini terrifiant,

écœurant, ou tout du moins perturbant.

Mais, pour certains d'entre nous, c'est une source de plaisir.

On est si petits…

10 003, 10 004…

… et on parvient pourtant à effleurer…

Dix millions un…

… un concept aussi vaste.

Dix millions quatre.

On se sent grand, car on a conscience de notre petitesse.

Je cours après cette sensation

depuis toujours.

Mais l'infini existe-t-il en dehors de notre esprit ?

L'infini existe-t-il ?

Je crois qu'en mathématiques…

- On peut attendre que le train passe ? - Oui.

C'est bon.

- Pardon. - Non, ça m'a permis de réfléchir.

Je crois que j'allais parler

de l'existence en mathématiques.

En mathématiques, on a un rapport intéressant aux choses,

à ce qui existe.

Si on peut concevoir une idée

et si on peut lui appliquer des règles, alors elle existe.

Comment cela s'applique-t-il à l'infini ?

L'infini est un concept absolument contre-intuitif,

qui mène à beaucoup de paradoxes

et de contradictions qui nous embourbent.

On les a regroupés dans une parabole

appelée Hôtel de Hilbert.

HÔTEL DE HILBERT

Un hôtel avec un nombre infini de chambres.

Un hôtel très prisé.

D'ailleurs, il est toujours complet.

Mais, il y a toujours de la place dans cet hôtel.

CHAMBRES LIBRES

Un soir, un nouveau client arrive.

Il appuie sur la sonnette.

"Une chambre."

La gérante dit :

"Bien sûr, on a de la place à l'Hôtel de Hilbert.

"Veuillez patienter."

La gérante dit alors à tout le monde…

Veuillez faire vos valises

et vous installer dans la chambre d'à côté.

On passe de la chambre un à la chambre deux,

et de la chambre deux à la chambre trois.

Il devrait y avoir un souci, car toutes les chambres sont prises.

Mais, à l'Hôtel de Hilbert, c'est possible.

Les nombres sont infinis.

De un, on passe à deux, puis à trois, puis d'un million à un million un.

Tout le monde s'installe dans la chambre d'à côté.

La chambre numéro un est donc libre et le nouveau client peut y aller.

Et si personne ne bougeait et que le nouveau allait au bout ?

On serait tentés de mettre le nouveau dans la dernière chambre.

Pourquoi déplacer tout le monde pour lui ?

Il n'y a pas de dernière chambre.

HÔTEL DE HILBERT

L'infini ne marche pas comme ça.

On part du début, pas de la fin. Il n'y a pas de fin.

Mais, le lendemain soir, les choses se corsent,

car la gérante ne voit pas arriver un seul client,

mais un bus rempli de passagers grognons, transpirants et énervés

qui appuient tous sur la sonnette pour réclamer une chambre.

Il y en a un nombre infini.

Ils veulent tous dormir dans cet hôtel-là.

Comment faire ?

Peut-on loger un nombre infini de personnes,

alors que tout est complet à l'infini ?

Mais la gérante a déjà rencontré ce problème.

Elle fait donc une annonce.

Veuillez faire vos valises

et déménager vers le double de votre numéro de chambre.

On va donc de la chambre un à la chambre deux,

de la chambre deux à la chambre quatre,

et de la chambre trois à la chambre six.

Quelle tannée pour la chambre un million,

qui doit aller à la deux millions, ce qui n'est pas à côté.

Mais tout le monde s'exécute.

Toutes les chambres impaires ont donc été libérées

et tous ces nouveaux clients peuvent s'y installer.

L'Hôtel de Hilbert a une autre spécificité.

Très consciencieuse, sa gérante

vérifie toutes les chambres, même s'il y en a un nombre infini.

Heureusement, elle est rapide

et parvient à accomplir sa tâche en une minute.

Elle prend 30 secondes pour vérifier la chambre un,

puis 15 secondes pour la chambre deux,

puis encore la moitié, soit 7,5 secondes, pour la chambre trois,

et ainsi de suite jusqu'au bout du couloir de l'hôtel.

Une moitié, plus un quart, plus un huitième, plus un seizième…

Si on additionne le tout,

quand on y pense, et qu'on va jusqu'à l'infini,

la somme sera égale à un.

Elle vérifiera donc un nombre infini de chambres en une minute.

- Et comment revient-elle de l'infini ? - Bonne question.

Voyons voir.

C'est un beau casse-tête. Où se trouve-t-elle, à la fin ?

Je l'ignore.

J'ai dédié ma carrière à l'infini.

Pourtant, je ne lui trouve pas d'issue.

Elle est au bout de ce couloir infiniment long

et je ne vois pas comment elle va en revenir.

HÔTEL DE HILBERT

Vous voyez que cet hôtel est étrange.

Je pense que la morale de cette parabole

est que l'infini n'agit en rien comme ce qu'on connaît.

On conçoit les choses selon un nombre fini.

Un, deux, trois. Trois poissons.

On a l'habitude des petits et des grands nombres.

Des milliers de milliards de dollars

sont alloués au budget des États-Unis, par exemple.

Mais on est loin de l'infini.

Peu importe sa grandeur, un nombre fini n'est rien à côté.

ENCORE PLUS DE CHAMBRES

Mais on a du mal à imaginer comment l'infini fonctionne.

CHAPITRE 2

∞ + ∞ = ∞

Dès la petite enfance, on soupçonne l'existence de l'infini.

C'est plus grand que tout ce qu'on peut imaginer.

Mais, et si on y ajoute un ?

Si l'infini est ce qu'il y a de plus gros, il reste infini même si on lui ajoute un.

Que se passe-t-il si je soustrais l'infini des deux côtés ?

Alors, un est égal à zéro.

On se retrouve donc dans une impasse,

et ce n'est que le début.

Il arrive qu'on n'ait pas de réponse.

Cela n'arrive pas avec une suite finie.

La réponse à un plus deux est trois, et c'est tout.

Mais si je dis un moins un, plus un, moins un…

Un moins un, plus un, moins un, plus un, moins un, etc.

Si je fais ça à l'infini…

Il n'y aura pas de réponse. Ce n'est ni zéro, ni un.

C'est ni l'un ni l'autre. Ou bien les deux ?

Avec l'infini plus l'infini, ou multiplié par l'infini,

on obtient des paradoxes.

Que donne l'infini plus l'infini ?

L'infini, car c'est ce qu'il y a de plus grand.

Si on soustrait l'infini des deux côtés, l'infini devient égal à zéro.

C'est encore pire. C'est terrible.

Mais c'est génial aussi, car ça nous laisse perplexes.

L'infini est-il beau ?

Bien sûr que oui.